\xiti

\begin{xiaotis}

\xiaoti{设 $f(x) = x^3 - i\,x^2 + 2x - 2\,i$，求：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \renewcommand\arraystretch{1.2}
    \begin{tabular}[t]{*{2}{@{}p{16em}}}
        \xiaoxiaoti{$f(0)$；} & \xiaoxiaoti{$f(2)$；} \\
        \xiaoxiaoti{$f(i)$；} & \xiaoxiaoti{$f(\sqrt{2}\,i)$；} \\
        \xiaoxiaoti{$f(-\sqrt{2}\,i)$。}
    \end{tabular}

\end{xiaoxiaotis}

\xiaoti{用综合除法求商式及余数：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xiaoxiaoti{$(3x^4 - 50x^2 + 14) \div (x - 4)$；}

    \xiaoxiaoti{$(x^4 - 15x^2 - 10x + 28) \div (x + 2)$；}

    \xiaoxiaoti{$(3x^4 - 5x^3 + 8x^2 - x - 40) \div \left( x - \dfrac{2}{3} \right)$；}

    \xiaoxiaoti{$(x^5 + 6x^4 + 9x^3 -14x + 8) \div (x + 4)$；}

    \xiaoxiaoti{$(5x^3 - 6x^2 + 7x + 8) \div (5x + 4)$；}

    \xiaoxiaoti{$(4x^4 + 6x^3 - 8x^2 + 5x) \div (2x + 5)$；}

    \xiaoxiaoti{$(y^3 - 8y^2 + 16y - 25) \div (y - 6)$；}

    \xiaoxiaoti{$(2a^4 - a^2 + 9a - 12) \div (a + 2)$；}

    \xiaoxiaoti{$(8t^4 + 14t^3 - 3t^2 - 35t + 18) \div (4t - 3)$；}

    \xiaoxiaoti{$(25m^5 + 36m^3 - 14m^2 + 8m + 8) \div (5m + 2)$；}

    \xiaoxiaoti{$(x^3 - 8x^2y + 8y^3) \div (x - 2y)$\\
        （提示：把 $x$ 看作多项式的元，$y$ 看作系数）；
    }

    \xiaoxiaoti{$(10m^5 - 7m^4n - 16m^3n^2 + 23mn^4 - 21n^5) \div (2m - 3n)$。}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{}
\begin{xiaoxiaotis}
    \xiaoxiaoti[\xxtsep]{用综合除法求 $f(x) = x^5 - 2x^4 - 5x^3 + 9x^2 - 14x + 29$ 除以 $x - 3$ 所得的余数；}

    \xiaoxiaoti{对于上题中的 $f(x)$，用代入法求 $f(3)$；}

    \xiaoxiaoti{比较第 (1)，(2) 小题所得的结果。}

\end{xiaoxiaotis}



\xiaoti{}%
\begin{xiaoxiaotis}%
    \xiaoxiaoti[\xxtsep]{用综合除法求 $f(x) = x^7 - 23x^4 + 19$ 除以 $x + 1$ 所得的余数；}

    \xiaoxiaoti{对于第 (1) 小题中的 $f(x)$，用代入法求 $f(-1)$；}

    \xiaoxiaoti{比较第 (1)，(2) 小题所得的结果。}

\end{xiaoxiaotis}



\xiaoti{}%
\begin{xiaoxiaotis}%
    \xiaoxiaoti[\xxtsep]{已知 $f(x) = x^5 + 2x^4 - 19x^3 + 19x^2 - 25x - 70$，利用综合除法求 $f(3)$；}

    \xiaoxiaoti{已知 $f(x) = 9x^5 + 3x^4 - 32x^3 + 10x^2 + 27x - 6$，利用综合除法求 $f \left( \dfrac{4}{3} \right)$。}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{不用除法，求下列各式除以 $x - y$ 所得的余式以及除以 $x + y$ 所得的余式：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \begin{tabular}[t]{*{2}{@{}p{16em}}}
        \xiaoxiaoti{$x^7 + y^7$；} & \xiaoxiaoti{$x^7 - y^7$；} \\
        \xiaoxiaoti{$x^8 + y^8$；} & \xiaoxiaoti{$x^8 - y^8$。}
    \end{tabular}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{不用除法，求证：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xiaoxiaoti{$x^5 + 4x^3 - 11x^2 + 9x - 3$ 有因式 $x - 1$；}

    \xiaoxiaoti{$x^4 - 8x^3 - 6x^2 + 9x + 6$ 有因式 $x + 1$；}

    \xiaoxiaoti{$(x - 1)^5 - 1$ 有因式 $x - 2$；}

    \xiaoxiaoti{$(x + 3)^{2n} - (x + 1)^{2n}$（其中 $n \in N$）有因式 $x + 2$。}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{用因式定理证明 $(2a + b)^n - a^n$ （其中 $n \in N$）有因式 $a + b$。}

\xiaoti{用因式定理证明 $x^{4n+2} + a^{4n+2}$ （其中 $n \in N$）有因式 $x - a\,i$，又有因式 $x + a\,i$。}

\xiaoti{用因式定理证明 $(a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3$ 有一次因式 $a - b$，$b - c$，$c - a$。}


\xiaoti{}
\begin{xiaoxiaotis}
    \xiaoxiaoti[\xxtsep]{已知 $f(x) = x^4 + 5x^3 - mx - 28$ 有因式 $x - 2$，确定 $m$ 的值；}

    \xiaoxiaoti{已知 $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + n$ 有因式 $2x + 3$，确定 $n$ 的值。}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{已知 $f(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0$，求证：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xiaoxiaoti{$x - 1$ 成为 $f(x)$ 的一次因式的充要条件是 $a_n + a_{n-1} + \cdots + a_1 + a_0 = 0$；}

    \xiaoxiaoti{$x + 1$ 成为 $f(x)$ 的一次因式的充要条件是 $a_n - a_{n-1} + \cdots + (-1)^{n-1} a_1 + (-1)^n a_0 = 0$。}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{已知 $n \; (n \geqslant 1)$ 次多项式 $f(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0$，
    且所有 $a_i \; (i = 0,\, 1,\, \cdots,\, n)$ 都是非负实数，求证 $x - b$ （其中 $b \in R$） 成为
    $f(x)$ 的一次因式的必要条件是 $b \leqslant 0$。
}


\xiaoti{把下列各式分解因式：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \begin{tabular}[t]{*{2}{@{}p{16em}}}
        \xiaoxiaoti{$x^3 - 4x^2 - 17x + 60$；} & \xiaoxiaoti{$x^3 - 8x + 8$；} \\
        \xiaoxiaoti{$6x^3 + x^2 + 7x + 4$；} & \xiaoxiaoti{$3x^3 + x^2 + 4x - 4$；} \\
        \xiaoxiaoti{$4x^4 + 4x^3 - 9x^2 - x + 2$。}
    \end{tabular}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{把下列各式分解因式（在有理数集 $Q$ 中）：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xiaoxiaoti{$4x^4 - 3x^3 + 15x^2 - 1$；}

    \xiaoxiaoti{$3a^5 - 5a^4b + a^3b^2 - 8a^2b^3 + 3ab^4 + 2b^5$。}

\end{xiaoxiaotis}

\end{xiaotis}

